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Consideriamo ora una di queste terne, e sia $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ; poscia poniamo

	$\lambda _{1}=x_{1}$ ,	$\lambda _{2}=x_{2}$ ,	$\lambda _{3}=x_{3}$
	$\mu _{1}=x_{1}$ ,	$\mu _{2}=x_{2}$ ,	$\mu _{3}=x_{3}$ .

La terna $(\lambda _{1}\,\lambda _{2}\,\lambda _{3})$ di valori di $\lambda$ determina i tre lati di un triangolo circoscritto alla prima conica, e la terna corrispondente $(\mu _{1}\,\mu _{2}\,\mu _{3})$ , formata di valori numericamente eguali, determina parimente i tre vertici d’un triangolo inscritto alla seconda. Ma poichè si ha, in base alle equazioni del tipo (5),

${\frac {A}{(\lambda _{1}-a)(\mu _{2}-a)}}+{\frac {B}{(\lambda _{1}-b)(\mu _{2}-b)}}+{\frac {C}{(\lambda _{1}-c)(\mu _{2}-c)}}=0$ ,

${\frac {A}{(\lambda _{1}-a)(\mu _{3}-a)}}+{\frac {B}{(\lambda _{1}-b)(\mu _{3}-b)}}+{\frac {C}{(\lambda _{1}-c)(\mu _{3}-c)}}=0$ ,

è chiaro, avuto riguardo al significato geometrico della relazione (3), che il lato $\lambda _{1}$ , del primo triangolo contiene i vertici $\mu _{2}$ e $\mu _{3}$ , del secondo. E poichè ciò vale anche per gli altri lati e vertici, se ne conclude che i due triangoli $(\lambda _{1}\,\lambda _{2}\,\lambda _{3})$ , $(\mu _{1}\,\mu _{2}\,\mu _{3})$ non ne formano che un solo, simultaneamente circoscritto alla prima ed inscritto alla seconda conica. I valori eguali di $\lambda$ e $\mu$ , cioè $\lambda _{1}=\mu _{1}$ , $\lambda _{2}=\mu _{2}$ , $\lambda _{3}=\mu _{3}$ corrispondono a lati ed a vertici rispettivamente opposti di quest’unico triangolo. Siccome poi, variando k, $x_{1}$ , può assumere, come si disse, ogni valore possibile, ne segue che ogni tangente della prima conica può essere lato di un tal triangolo, come ogni punto della seconda può essere vertice d’un altro di tali triangoli. In altre parole: facendo variare con continuità nell’equazione (4), si determina un triangolo che varia con continuità restando sempre circoscritto alla prima ed inscritto nella seconda conica¹.

↑ Qui non facciamo distinzione fra valori reali e valori complessi dei parametri. È chiaro che i triangoli reali possono corrispondere ad una parte soltanto del campo di variabilità dei parametri, e possono anche mancare del tutto. Ma la questione della realità dei triangoli non ha a che vedere con quella della loro possibilità astratta, che è la sola di cui quì ci occupiamo.

[1] Qui non facciamo distinzione fra valori reali e valori complessi dei parametri. È chiaro che i triangoli reali possono corrispondere ad una parte soltanto del campo di variabilità dei parametri, e possono anche mancare del tutto. Ma la questione della realità dei triangoli non ha a che vedere con quella della loro possibilità astratta, che è la sola di cui quì ci occupiamo.

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