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Di quì risulta che se due coniche ammettono un triangolo inscritto nell’una e circoscritto all’altra, qual’è per le nostre due coniche il triangolo fondamentale, essendo del resto arbitrarie, esse ammettono necessariamente una serie infinita e continua di tali triangoli, talchè ogni punto della conica circoscritta può diventar vertice, come ogni tangente della inscritta può diventar lato d’uno di tali triangoli. E poichè è d’altronde evidente che, per due coniche assolutamente arbitrarie, non può un punto scelto a caso sull’una essere vertice di un triangolo inscritto ad essa e circoscritto all’altra, segue senz’altro la verità del teorema di Poncelet che due coniche in un piano o non ammettono alcun triangolo inscritto all’una e circoscritto all’altra, o ne ammettono una serie infinita e continua.

Resta da considerare il caso, lasciato finora in disparte, che l’equazione (4) abbia due radici eguali, caso che interviene sempre, per certi valori particolari di k. Per discutere questo caso, osserviamo anzitutto che se $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ sono le tre radici diseguali corrispondenti ad un valore arbitrario di k, si ha dal Lemma (I)

	$A={\frac {k(a-x_{1})(a-x_{2})(a-x_{3})}{(a-b)(a-c)}}$,
	$B={\frac {k(b-x_{1})(b-x_{2})(b-x_{3})}{(b-c)(b-a)}}$,
	$C={\frac {k(c-x_{1})(c-x_{2})(c-x_{3})}{(c-a)(c-b)}}$.

Quindi se, per un valor particolare $k'$ di k, le due radici $x_{2}$ e $x_{3}$ diventano eguali fra loro, designando con $x'$ il loro valor comune, si ha

(6)	${\begin{cases}A={\frac {k'(a-x_{1})(a-x')^{2}}{(a-b)(a-c)}},\\B={\frac {k'(b-x_{1})(a-x')^{2}}{(b-a)(b-c)}},\\C={\frac {k'(c-x_{1})(c-x')^{2}}{(c-a)(c-b)}}.\end{cases}}$