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hanno le due formole

$\left.{\begin{matrix}(a^{2}-x_{1}^{2})y^{2}=(b^{2}-y_{1}^{2})x^{2},\\{\frac {\Omega ^{2}}{x^{2}}}+d\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}-d\left({\frac {x_{1}}{x}}\right)^{2}={\frac {\Theta ^{2}}{y^{2}}}+d\left({\frac {b}{y}}\right)^{2}-d\left({\frac {y_{1}}{y}}\right)^{2},\end{matrix}}\right\}$

(15)

dove $\Theta ^{2}=dy^{2}+dy_{1}^{2}+\cdots +dy_{n}^{2}$. In secondo luogo se si considerano, sull’asse delle $x_{1}$, le porzioni $X_{1}^{0}$, $Y_{1}^{0}$ intercette fra le due origini e il punto in cui l’asse stesso è intersecato dallo spazio $x_{1}=x_{1}$, si ha

$X_{1}^{0}={\frac {R}{2}}\log {\frac {a+x_{1}}{a-x_{1}}}$,

$Y_{1}^{0}={\frac {R}{2}}\log {\frac {b+y_{1}}{b-y_{1}}}$,

mentre la distanza delle due origini è data da

${\frac {R}{2}}\log {\frac {a+a_{1}}{a-a_{1}}}$.

È chiaro dunque che bisogna porre

$X_{1}^{0}=Y_{1}^{0}+{\frac {R}{2}}\log {\frac {a+a_{1}}{a-a_{1}}}$,

cioè

${\frac {(a+x_{1})(a-a_{1})}{(a-x_{1})(a+a_{1})}}={\frac {b+y_{1}}{b-y_{1}}}$

donde

$y_{1}={\frac {ab(x_{1}-a_{1})}{a^{2}-a_{1}x_{1}}}$,

$x_{1}={\frac {a(ay_{1}+a_{1}b)}{ab+a_{1}y_{1}}}$.

(16)

Queste due formole danno luogo alle relazioni

$a^{2}-x_{1}^{2}={\frac {a^{2}(a^{2}-a_{1}^{2})(b^{2}-y_{1}^{2})}{(ab+a_{1}y_{1})^{2}}}$,

$b^{2}-y_{1}^{2}={\frac {b^{2}(a^{2}-a_{1}^{2})(a^{2}-x_{1}^{2})}{(a^{2}-a_{1}x_{1})^{2}}}$,

(17)

le quali, combinate opportunamente colla prima delle (15), conducono a queste altre due:

${\frac {a}{x}}{\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}}}=a{\frac {b}{y}}+a_{1}{\frac {y_{1}}{y}}$,
${\frac {x_{1}}{x}}{\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}}}=a_{1}{\frac {b}{y}}+a{\frac {y_{1}}{y}}$,

Beltrami.

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