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darsi che per tre punti, e molto più per quattro, non si possa far passare una sfera geodetica col centro in un punto reale. Le orisfere o superficie-limiti di Lobatschewsky ¹ non sono altro che le sfere geodetiche il cui centro è all’infinito, cioè i cui raggi formano un sistema di geodetiche parallele dello spazio di curvatura costante negativa. Facendo nella (21) $n=3$ si ha

$ds=R{\frac {\sqrt {d\eta ^{2}+d\eta _{1}^{2}+d\eta _{2}^{2}}}{\eta }}$,

(25)

dove

${\frac {Rx}{a-x_{3}}}=\eta$,$\;\;\;\;\;\;{\frac {Rx_{1}}{a-x_{3}}}=\eta _{1}$,$\;\;\;\;\;\;{\frac {Rx_{2}}{a-x_{3}}}=\eta _{2}$,

e reciprocamente

$x_{1}={\frac {2aR\eta _{1}}{\eta ^{2}+\eta _{1}^{2}+\eta _{2}^{2}+R^{2}}}$,

$x_{2}={\frac {2aR\eta _{2}}{\eta ^{2}+\eta _{1}^{2}+\eta _{2}^{2}+R^{2}}}$,

$x_{3}={\frac {a(\eta ^{2}+\eta _{1}^{2}+\eta _{2}^{2}-R^{2})}{\eta ^{2}+\eta _{1}^{2}+\eta _{2}^{2}+R^{2}}}$.

La formola (25) rappresenta l’elemento lineare dello spazio non-euclideo riferito ad un sistema di orisfere concentriche ed a quello dei loro raggi. La forma di questo elemento insegna che ogni orisfera, essendo rappresentata da $\eta ={\text{cost}}.$, è una superficie di curvatura nulla, poichè il suo elemento lineare ha la forma

$ds={\text{cost}}.{\sqrt {d\eta _{1}^{2}+d\eta _{2}^{2}}}$;

e che le variabili $\eta _{1}$, $\eta _{2}$ sono le coordinate rettangole dei suoi punti. Una superficie di prim’ordine

$lx_{1}+mx_{2}+nx_{3}+p=0$

è rappresentata in coordinate $\eta ,\eta _{1},\eta _{2}$ dall’equazione

$2aR(l\eta _{1}+m\eta _{2})+(an+p)(\eta ^{2}+\eta _{1}^{2}+\eta _{2}^{2})=(an-p)R^{2}$,

epperò taglia l’orisfera (per la quale $\eta ={\text{cost}}.$) secondo un cerchio. Questo si riduce ad una retta solamente quando $p=-an$, cioè quando l’equazione

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1. Ossia le superficie $F$ di J. Bolyai.