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Pagina:Beltrami - Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante - 1868.pdf/17

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infinitamente vicino all’origine. Se dunque si divide la somma dei termini di 4º ordine nella (20)' per il quadrato dell’area del triangolo infinitesimo anzidetto, si ha il quoziente ; e poichè, secondo la definizione di Riemann, tale quoziente moltiplicato per esprime la misura della curvatura nel senso dell’elemento superficiale anzidetto, si vede che nello spazio qui considerato tale misura è costante ed in ogni direzione intorno a ciascun punto1. Egli è perciò che questo spazio può acconciamente esser chiamato di curvatura costante.

Una quarta transformazione, importantissima, è quella che si ottiene introducendo nuove variabili indipendenti , , e ponendo

, , .

Se ne trae immediatamente

, (21)


  1. Per vedere la coincidenza della definizione di Riemann con quella di Gauss, si rammenti che, secondo GAUSS, la misura della curvatura della superficie definita dall’elemento

    è espressa da , essendo funzione in generale di e di . Se la variabile è la lunghezza di un arco geodetico uscente da un punto della superficie nel quale questa abbia una curvatura ordinaria, la funzione è della forma dove è una funzione che per non è nè nulla nė infinita (veggansi p. es. questi Annali, p. 358 del tomo prec.) e quindi la misura della curvatura nel punto è . Ciò posto, le coordinate di Riemann

    ,

    danno all’elemento testè considerato la forma

    ,


    epperò la misura della curvatura nel punto è, secondo Riemann, . Ora (per ); dunque le due espressioni coincidono.

    È chiaro che cioè dev’essere una quantità indipendente da .