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| 72 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
la somma dei quadrati di AD, DB è doppia della somma dei quadrati di AC, CD.
Tirisi dal punto C la CE ad angoli retti sopra la AB, e pongasi uguale alle AC, CB; e conducansi AE, EB. Poi per E tirisi la EF parallela alla AD, e per D tirisi la DF parallela alla CE. Poiché sopra le parallele EC, cadeva linea retta EF, gli angoli CEF, EFD presi insieme fanno due retti. Dunque la somma degli angoli FEB, EFD è minore di due retti; e però prolungandosi le EB, FD concorreranno dalla parte BD [post. 5]. Prolunghisi e concorrano nel punto G, e tirisi AG. Perchè la AC è eguale alla CE, eziandio l’angolo AEC sarà uguale all’angolo EAC; ma l’angolo C è retto, onde l’uno e l’altro di essi EAC, AEC sarà la metà d’un retto [I, 32]. E per la medesima ragione sarà la metà d’un retto l’uno e l’altro degli angoli CEB, EBC. Adunque AEB è retto. E perchè EBC è la metà d’un retto, sarà anche la metà d’un retto DBG, opposto al vertice [I, 15]. Ma BDG altresì è retto, per essere uguale all’alterno DCE [I, 29], dunque DGB è la metà d’un retto, e però è uguale a DBG: onde il lato BD è uguale al lato DG. Similmente perchè EGF è la metà d’un retto, ed è retto l’angolo F, essendo uguale all’angolo opposto C, sarà FEG la metà d’un retto ed uguale ad EGF; onde eziandio il lato GF è uguale al lato EF. Essendo dunque la EG uguale alla CA, il quadrato di EC sarà uguale al quadrato di CA; ma la somma dei quadrati di EC, CA è eguale al quadrato di EA; dunque il quadrato di EA è doppio del quadrato di AC. Similmente il quadrato di EG è doppio del quadrato di EF, ossia
