Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/101

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poi per A si immagini descritta l'orisfera [eventualmente piana] che taglia ortogonalmente le rette AA', BB', CC' rispettivamente nei punti A, M, N. Se si denotano con a', b', c' i lati del triangolo rettangolo orisferico AMN, in forza di quanto altrove si disse [ad es. al § 48, (b,], si avrà:


sen AMN = b' : c'.


Ma sull' orisfera due archi d'oriciclo stanno fra loro come le circonferenze che hanno per raggi [oriciclici] quegli archi, talchè, indicando con cirf. x' la circonferenza di raggio oriciclico x', si potrà scrivere:


sen AMN = cirf. b' : cirf. c'.


D'altra parte, una circonferenza tracciata sull'orisfera con raggio oriciclico x', può riguardarsi come una circonferenza ordinaria, il cui raggio rettilineo x sia la metà della corda dell'arco oriciclico 2x'. Talchè, denotando [vedi simbolo 93.png] la circonferenza di raggio rettilineo x ed osservando che i due angoli ABC, AMN sono uguali, la precedente relazione assume la forma:


[vedi formula 93.png].


Dalla proprietà del triangolo rettangolo ABC, espresso con questa uguaglianza, si può dedurre l'enunciato teorema di Bolyai, nello stesso modo che dalla relazione euclidea:


sen ABC = b : c


si deduce la proporzionalità fra i lati d'un triangolo e i seni degli angoli opposti [Appendix, § 25].