Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/102

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Il teorema di Bolyai si esprime poi brevemente così:


(1) [vedi formula 94_a.png].


Se ora volessimo specializzare il sistema geometrico, avremmo:

1°) nell'ip. euclidea:


[vedi formula 94_b.png]



e sostituendo in (1):


(1') a : b : c = sen alfa : sen beta : sen gamma


2°) nell' ip. non-euclidea [cfr. § 34]:

[vedi formula 94_c.png]

ed operando come sopra:

(1") Sh a/k : Sh b/k : Sh c/k = sen alfa : sen beta : sen gamma,


Quest'ultima relazione può riguardarsi come il teorema dei seni della geometria di Lobacefski-Bolyai.


Dalle (1), con procedimenti analoghi agli ordinari basati sulle (1'), Bolyai deduce la proporzionalità fra i seni degli angoli e i seni dei lati in un triangolo sferico. Da ciò risulta l'indipendenza della trigonometria sferica, dal postulato d'Euclide [Appendix, § 26]. Questo fatto mette ancor più in rilievo l'importanza del teorema di Bolyai.