Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/104

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una parallela ad AN tracciando la retta DM in modo che l'angolo BDM risulti uguale all' angolo AOB.


§ 51. Fra le costruzioni non-euclidee, date da Bolyai, è molto interessante la quadratura del cerchio. Senza attenerci strettamente al metodo di Bolyai, cerchiamo di porgere questa costruzione nelle sue linee generali.

Premettiamo la costruzione inversa a quella del § 50, necessaria pel nostro scopo.

Costruire, nell'ip. non-euclidea, il segmento corrispondente ad un dato angolo [acuto] di parallelismo.

Dato che il teorema sull'eventuale incidenza delle tre altezze di un triangolo è valido anche nella geometria di Lobacefski-Bolyai, sul lato AB, dell'angolo acuto BAA', [Fig. 43], si fissi un punto B tale che la parallela BB' alla retta AA' formi l'angolo B'BA acuto. Le due semirette AA'..., BB'... ed il segmento AB possono riguardarsi come lati d'un triangolo, di cui un vertice è il punto C infinito, comune alle due parallele AA', BB'. Allora, se dai vertici A e B si calano le perpendicolari AH, BK sui lati opposti, queste perpendicolari s'incontrano in un punto O, interno al triangolo, in


    Da ciò si vede che il rapporto sen u : sen v non varia se, tenuto fisso d, la retta AE si sposta mantenendosi perpendicolare a BD. In particolare se il piede di AE tende all'infinito su AN, u tende a pi greco(d) e v ad un angolo retto. Conseguentemente: [vedi formula 96_a.png] D'altra parte, nel triangolo rettangolo AOB, vale la relazione: [vedi formula 96_b.png] la quale, insieme alla precedente, conduce a stabilire l'uguaglianza dei due angoli Pi greco (d) e AOB, c. d. d.