Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/109

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è facile eliminare alfa dall'ultimo membro della precedente relazione ed ottenere così1:


[vedi formula 101_a.png]

dalla quale, per mezzo dell'ultima espressione di [vedi simbolo 101.png]r si ottiene:


[vedi formula 101_b.png]


Questa formula, dimostrata per altra via da Bolyai [Appendix, § 43], permette di associare ad ogni cerchio un determinato angolo z. Se fosse z = 45° allora si avrebbe:


[vedi formula 101_c.png]

cioè: l'area del cerchio, il cui angolo z è 45°, è uguale all'area del triangolo massimo e perciò a quella del quadrato del § 52.

  1. Infatti, nel triangolo rettangolo ABC, si ha: ctg pi greco (r/k) ctg alfa = Ch r/k, da cui, essendo Ch r/k = 2 Sh2 r/2k + 1 = 2 ctg2 pi greco (r/2) + 1, si deduce: ctg pi greco (r/2) ctg alfa = 2 ctg2 pi greco (r/2) + 1, e successivamente: ctg alfa - ctg pi greco (r/2) = 1 + tg2 pi greco (r/2). Queste due relazioni permettono di scrivere l'espressione di tg z nel modo richiesto.