Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/13

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§ 4. Che il postulato d’Euclide fosse oggetto di discussioni e ricerche presso i greci risulta ancora dalla seguente paradossale argomentazione, con cui, al dire di Proclo [pag. 369], si pretendeva dimostrare che due rette tagliate da una terza non s’incontrano, anche quando la somma degli angoli interni da una stessa parte è minore di due angoli retti.

Sia AC una trasversale delle due rette AB, CD ed E il punto medio di AC. Da quella parte di AC, in cui la somma degli angoli interni è minore di due angoli retti, si prendano su AB e CD i segmenti AF, CG uguali ad AE. Le due rette AB, CD non possono incontrarsi fra i punti A, F e C, G, perchè in un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due.

Congiunti poi i punti F, G, a partire dal segmento FG, si ripeta la precedente costruzione, cioè si determinino su AB, CD i due segmenti FK, GL, ciascuno eguale alla metà di FG. Le due rette AB, CD non potranno incontrarsi fra i punti F, K e G, L. E poichè questa operazione può ripetersi indefinitamente, si volle concludere che le due rette AB, CD non si sarebbero mai incontrate.

Il vizio principale dell’argomentazione risiede nell’uso dell’infinito, poichè i segmenti AF, FK,... potrebbero, per successive diminuzioni, tendere a zero e la loro serie essere finita. L’autore del paradosso ha fatto uso dello stesso principio con cui Zenone [495-435 a. C.] pretendeva dimostrare che Achille non raggiungerebbe la testuggine, pur muovendosi con velocità doppia della velocità di quest’ultima.

Ciò è notato, sotto altra forma, da Proclo [pag. 369-70] dicendo che ciò che così si dimostra è che, col suddetto