Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/138

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


come una interpretazione concreta della geometria non-euclidea che si ottiene in una regione limitata di piano adottando l'ip. ang. ottuso o quella dell'ang. acuto.

La possibilità di interpretare la geometria delle varietà a due dimensioni mediante quella delle superficie ordinarie era nota a B. RIEMANN [1826-1866] fino dal 1854, anno in cui egli compose la celebre dissertazione: «Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen1.», che sta a fondamento dell'indirizzo metrico differenziale.

L'interpretazione di BELTRAMI si presenta come caso particolare di quella di RIEMANN. La quale, per le proprietà delle superficie di curvatura costante, ci mostra chiaramente come il seguito delle deduzioni ricavato dalle tre ipotesi sulla somma degli angoli di un triangolo debba condurre a dei sistemi geometrici logicamente coerenti.

  1. «Opere di Riemann», 1a ed. [1876], p. 254-96; 2a ed. [1892], p. 272-87. Fu letta da RIEMANN nel 1854, per la sua abilitazione presso la Facoltà filosofica di Gottinga, davanti ad un pubblico composto non di soli matematici. Perciò non contiene sviluppi analitici ed i concetti ivi esposti hanno veste prevalentemente intuitiva. Qualche schiarimento analitico si trova nelle note della Memoria inviata da RIEMANN in risposta ad una questione messa a concorso dall'Istituto di Parigi [Op. Riemann, 1a ed. p. 384-91]. Il fondamento filosofico della «Dissertazione» è lo studio delle proprietà delle cose dal loro modo di comportarsi nell'infinitesimo. Cfr. il discorso di KLEIN: «Riemann e la sua importanza nello sviluppo della matematica moderna.», tradotto da E. PASCAL negli Annali di Mat., (2), t. XXIII [p. 222]. La «Dissertazione» fu pubblicata soltanto nel 1867 [Gött. Abh., XIII], dopo la morte dell'A., per cura di R. DEDEKIND, poi tradotta in francese da J. Hoüel [Annali di Mat, (2), t. III, 1870; Oeuvres Math. de Riemann, 1876], in inglese da W. CLIFFORD [Nature, t. VIII, 1873] e da G. B. HALSTED [Tokyo sugaku butsurigaku kwai kiji, t. VII, 1895], in polacco da DICKSTEIN [Comm. Acad. Litt. Cracoviensis, t. IX, 1877], in russo da D. SINSTOFF [Notizie della Società fisico-matematica della R. Università di Kasan, (2), t. III, Appendice, 1893].