Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/137

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di curvatura costante negativa1. Queste relazioni [trigonometria pseudosferica] evidentemente coincidono con quelle di Taurinus, cioè con le formule della geometria di Lobacefski-Bolyai.


§ 69. Dai precedenti §§ risulta che le proprietà relative alla somma degli angoli d'un triangolo, nella geometria delle superficie di curvatura costante, corrispondono rispettivamente:


per K = 0, a quelle valide nel piano in forza dell'ip. ang. retto; per K > 0,

a quelle che sussisterebbero nel piano in forza dell'ip. ang. ottuso; per K < 0, a quelle valide nel piano, in forza dell'ip. angolo acuto.


Il primo di questi risultati è evidente a priori, perchè si tratta di superficie sviluppabili.

L'analogia fra la geometria sulle superficie di curvatura costante negativa, ad es., e la geometria di Lobacefski- Bolyai si potrebbe rendere ancor più manifesta ponendo a riscontro le relazioni fra gli elementi dei triangoli geodetici tracciati su quelle superficie con le formule della trigonometria non-euclidea. Un tale riscontro fu fatto da E. BELTRAMI nel suo «Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea2.».

Risulta così che la geometria sopra una superficie a curvatura costante positiva o negativa si può considerare

  1. «Wie sich entschneiden lässt, ob zwei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen über die Flächen von unveränderlichem Krümmungsmaasse.»; Crelle, t.. XIX, p. 370-87 [1839].
  2. MINDING: «Beiträge zur Theorie der kürzesten Linien auf krummen Flächen.»; Crelle, t. XX, p. 323-27 [1840]. — D. CODAZZI: «Intorno alle superficie le quali hanno costante il prodotto de' due raggi di curvatura.»; Ann. di Scien. Mat. e Fis. t.VIII, p. 346-55 [1857].