Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/146

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un altro sistema riemanniano [tipo sferico], in cui due rette hanno sempre in comune due punti.


§. 75. Come RIEMANN abbia concepito il suo piano completo, se abbia cioè pensato al piano-ellittico o al piano-sfera, od abbia riconosciuto la possibilità di entrambi, non si può precisare, perchè egli, nella sua memoria, fa della geometria differenziale e dedica soltanto poche parole alle forme complete. Però i continuatori del suo indirizzo, fra cui BELTRAMI, considerando costantemente la geometria riemanniana accanto alla sferica, furono tratti a supporre che sul piano completo di RIEMANN, come sulla sfera [per l'esistenza dei punti opposti], il postulato di determinazione della retta presentasse delle eccezioni1 e che l'unica forma compatibile con l'ip. ang. ottuso fosse il piano-sfera.

Le proprietà essenziali del piano-ellittico furono date da A. CAYLEY [1821-1895] nel 1859, ma la relazione fra queste proprietà e la geometria non euclidea fu additata da KLEIN solo nel 1871. A KLEIN si deve pure la netta distinzione fra le due geometrie riemanniane e la rappresentazione di quella ellittica con la geometria della stella [cfr. § 71]

Per comprendere in che consista la differenza fra la geometria sferica e la ellittica fissiamo l'attenzione su due tipi di superficie che si presentano nello spazio ordinario, cioè sulle superficie a due faccie [bilatere] e sulle superficie ad una sola faccia [unilatere].

Esempi di superficie bilatere sono il piano ordinario, le superficie del 2° ordine [coniche, cilindriche, sferiche] ed in

  1. Cfr., ad es., il breve cenno sulla geometria degli spazi di curvatura costante positiva, con cui BELTRAMI chiude la sua memoria «Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante.» [Annali di Matem., (2), t. II, p. 354-5, 1868]. Questa memoria, che dovremo richiamare nel seguito, fu tradotta in francese da Hoüel nel t. VI, p. 347-77, degli Annales scien. de l'École Normale supérieure.