Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/149

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di raggi come formanti un solo elemento, la stella di raggi s'identifica con la stella di rette.

Le stesse considerazioni si applicano ai due piani di RIEMANN. Ad ogni punto del piano ellittico ne corrispondono due distinti e opposti del piano-sfera, a due rette del primo che passano per quel punto, due rette del secondo che hanno due punti in comune, etc....

Il piano ellittico, a fianco del piano-sfera, deve adunque concepirsi come un piano doppio.

A proposito del piano ellittico e del piano sfera conviene osservare che le formule della trigonometria assoluta, indicate al § 56, possono ad essi applicarsi in ogni loro regione convenientemente limitata. Ciò risulta dal fatto, già notato al § 58, che le formule della trigonometria assoluta sono valide sulla sfera, la cui geometria, per quanto riguarda le regioni normali, coincide con quella de' due piani in discorso.


FONDAMENTI D’UNA GEOMETRIA SPAZIALE SECONDO RIEMANN.


§ 77. Rivolgendoci ora allo spazio, partiamo dal fondamento filosofico che i postulati, sebbene ad essi si accordi per ipotesi un valore rigoroso, esprimono delle verità d'indole sperimentale, verificabili solo in una regione limitata e ammettiamo che, in base ai detti postulati, i punti dello spazio siano rappresentati da tre coordinate x1, x2, x3.

In tale rappresentazione [analitica] ad ogni linea verranno a corrispondere tre equazioni parametriche:


x1 = f1 (t), x2 = f2 (t), x3 = f3 (t),


ed allora potremo proporci di determinare una funzione s, del parametro t, che esprima la lunghezza d'un arco di curva.

Stante la proprietà distributiva, per la, quale la lunghezza d'un arco è uguale alla somma delle lunghezze delle parti in cui può immaginarsi diviso, una tale funzione sarà pienamente