Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/148

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piano-sfera è dotato dei caratteri delle superficie bilatere, il piano ellittico di quelli delle superficie unilatere.

La proprietà del piano ellittico ora enunciata trova poi, come tutte le altre, una interpretazione concreta nella stella di rette.

Infatti, un ribaltamento d'una retta su se stessa, intorno al centro della stella, scambia fra loro le due rotazioni che hanno per asse quella retta.

Un'altra proprietà del piano ellittico, legata alla precedente, è questa: Il piano ellittico, contrariamente a ciò che accade per l'euclideo e gli altri non euclidei, non viene spezzato in due falde dalle sue rette. Ciò può esprimersi ancora dicendo che dati su esso due punti A, A' ed una retta arbitraria si può passare da A ad A' per un cammino che non esca dal piano nè attraversi la retta.

Questo fatto si traduce in una chiara proprietà della stella, che è superfluo richiamare.


§ 76. Analoga all'interpretazione del piano ellittico è quella che può darsi del piano-sfera mediante la stella di raggi [semirette]. La traduzione delle proprietà di questo piano nella proprietà della stella di raggi si effettua con l'uso di un dizionario, simile a quello del § 71, in cui la parola punto si trova contrapposta alla parola raggio.

La considerazione della stella di raggi a fianco della stella di rette si presta assai bene per rischiarare i legami e spiegare le differenze che intercedono fra le due geometrie riemanniane.

Noi possiamo considerare due stelle, l'una di rette e l'altra di raggi, col medesimo centro. È chiaro che ad ogni retta della prima corrispondono due raggi della seconda, che ogni figura della prima è formata con due figure simmetriche della seconda e che, sotto certe restrizioni, le proprietà metriche delle due forme sono le stesse. Cosicchè se si conviene di riguardare i due raggi opposti della stella