Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/152

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come espressione della distanza elementare, egli ha fatto vedere che questa espressione, nella forma datale da RIEMANN per gli spazi di curvatura costante, è la sola possibile, quando alle ipotesi di RIEMANN si aggiunga, fin da principio, quella riguardante la sovrapponibilità delle figure, in modo conforme al movimento dei corpi rigidi. Il problema di RIEMANN-HELMHOLTZ è stato sottoposto ad una profonda critica da S. LIE [1842-1899]. Il quale è partito dall'idea fondamentale, ravvisata da KLEIN nelle ricerche di HELMHOLTZ, che essere due figure congruenti significa potersi trasformare l'una nell'altra mediante una certa trasformazione puntuale dello spazio e che le proprietà per cui la congruenza assume l'aspetto logico di uguaglianza sono inerenti al fatto che i movimenti formano un gruppo di trasformazioni1.


Pertanto il problema di RIEMANN - HELMHOLTZ venne messo dal LIE sotto la forma seguente:

Determinare tutti i gruppi continui dello spazio che, entro una regione limitata, godono delle proprietà dei movimenti.

Postulate convenientemente tali proprietà, in relazione al concetto di libera mobilità degli elementi lineari e superficiali uscenti da un punto, si trovano tre tipi di gruppi, i quali caratterizzano le tre geometrie di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN2.

  1. Cfr. KLEIN: «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen.», [Erlangen, 1782] — Trad. italiana di G. FANO. Annali di Matem., (2), t. XVII, p. 301-43 [1899].
  2. Cfr. LIE: «Theorie der Transformationsgruppen.», t. III, p. 437-543. [Leipzig, Teubner 1893]. — Nello stesso ordine di idee, H. POINCARÉ, nel suo scritto «Sur les hypothèses fondamentaux de la Géométrie.» [Bull. de la Société Math. de France, t. XV, p. 203-16, 1887], risolveva il problema di assegnare tutte le ipotesi che caratterizzano, fra i vari gruppi di trasformazioni, il gruppo fondamentale della geometria piana euclidea.