Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/153

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Indirizzo proiettivo


SUBORDINAZIONE DELLA GEOMETRIA METRICA ALLA PROIETTIVA.


§. 79. Finalmente anche la geometria proiettiva sta in un'elegante relazione coi tre sistemi geometrici di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN.

Per dare un'idea anche di quest'ultimo modo di trattare il problema rammentiamo che la geometria proiettiva, secondo il sistema di G. C. STAUDT [1798-1867], riposa esclusivamente sopra le nozione grafiche relative ai punti, alle rette, ai piani e bandisce sistematicamente ogni concetto di congruenza e di movimento [quindi di misura etc.]. Per la qual cosa la geometria proiettiva, prescindendo da un certo gruppo di postulati, comprenderà un numero più ristretto di proprietà generali, le quali, per quanto concerne le figure piane, sono le proprietà [proiettive] che restano invariate per proiezioni e sezioni.

Non di meno, fondata nello spazio la geometria proiettiva, possono introdursi nell'organismo di essa i concetti metrici, come relazioni delle figure con certi enti [metrici] particolari.

Restringendoci al caso del piano euclideo vediamo di quale interpretazione grafica siano suscettibili i concetti metrici fondamentali di parallelismo e di ortogonalità.

Giova, a tale scopo, considerare in modo speciale la retta all'infinito del piano e l'involuzione assoluta che su di essa determinano le coppie di raggi ortogonali di un fascio. I punti doppi di tale involuzione, immaginari coniugati, vengono denominati punti ciclici, per la loro proprietà di appartenere a tutti i cerchi del piano [ PONCELET, 18221].

  1. «Traité des propriétés projectives des figures», 2a ed., t. I, n.° 94, p. 48 [Paris, G. Villars, 1865].