Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/154

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Ciò posto, il parallelismo di due rette si esprime graficamente con la proprietà che esse hanno di concorrere in un punto della retta all'infinito; l'ortogonalità di due rette si esprime graficamente con la proprietà dei loro punti all'infinito, di essere coniugati nella involuzione assoluta, cioè di separare armonicamente i punti ciclici [CHASLES, 18501].

Altre proprietà metriche, che possono esprimersi graficamente, sono quelle inerenti alle grandezze angolari, imperocchè ogni relazione:


F (,A,.B,.C...) = 0,


fra gli angoli A, B, C,...., può sostituirsi con l'altra:

[vedi formula 146.png] log a

in cui a, b, c,.... sono i birapporti formati dai lati degli angoli con le rette [immaginarie] che dal loro vertice proiettano i punti ciclici [LAGUERRE, 18532].

Più in generale si dimostra che la congruenza tra due figure piane qualunque può esprimersi con una relazione grafica di esse colla retta all'infinito e l'involuzione assoluta3 e poichè la congruenza è il fondamento di tutte le proprietà metriche, segue che la retta all'infinito e l'involuzione

  1. «Traité de Géométrie supérieure. », 2a ed., n° 660, p. 425 [Paris, G. Villars, 1880].
  2. «Sur la theorie des foyers.», Nouv. Ann., t. XII, p. 57 — Oeuvres de LAGUERRE, t. II, p. 12-3, [Paris, G. Villars, 1902].
  3. Vedi, ad es., le «Lezioni di Geometria proiettiva.» di F. ENRIQUES, p. 177-88. [Bologna, Zanichelli, 2a ed., 1904].