Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/155

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assoluta permettono di subordinare alla geometria proiettiva tutte le proprietà della geometria metrica euclidea. Le proprietà metriche compariscono dunque nella geometria proiettiva non come proprietà grafiche delle figure considerate in sè stesse, ma come proprietà grafiche in relazione agli enti metrici fondamentali, costituiti dalla retta all'infinito e dalla involuzione assoluta.

L'insieme degli enti metrici fondamentali si denomina brevemente assoluto del piano [CAYLEY].

Quanto abbiamo detto per il piano si estende naturalmente allo spazio. Nello spazio gli enti metrici fondamentali, che permettono di subordinare le proprietà metriche alle grafiche, sono il piano all'infinito ed una certa polarità [polarità assoluta] su questo piano, segata dalla polarità della stella che ad ogni retta fa corrispondere il piano ortogonale [cfr. § 71]. La conica fondamentale di detta polarità è immaginaria, perchè nella stella non esistono rette reali che giaciano sul rispettivo piano perpendicolare. Si vede poi facilmente ch'essa contiene tutte le coppie di punti ciclici appartenenti ai vari piani dello spazio e che perciò risulta comune a tutte le sfere. Da ciò la denominazione di cerchio ciclico per l'ente metrico fondamentale dello spazio.


§ 80. Sorgono ora spontanee le due domande seguenti.

1.° Nelle ipotesi non-euclidee è possibile la fondazione della geometria proiettiva?

2.° Data la possibilità di tale fondazione, le proprietà metriche potranno, come nel caso euclideo, subordinarsi alle proiettive?

La risposta è affermativa per entrambe. Se nello spazio è valido il sistema di RIEMANN la fondazione della geometria proiettiva non offre difficoltà alcuna, pel fatto che si trovano senz'altro verificate le proprietà grafiche che stanno a base dell'ordinaria proiettiva dopo l'introduzione