Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/156

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degli enti impropri. Se nello spazio è valido il sistema di Lobacefski-Bolyai si può ancora fondare la geometria proiettiva introducendo, con opportune convenzioni, dei punti, rette e piani impropri o ideali, per mezzo dello stesso criterio che ordinariamente si segue nel caso euclideo per completare lo spazio con gli elementi all'infinito. Basterebbe, per ciò, considerare, accanto alla stella propria [insieme delle rette passanti per un punto], due stelle improprie, formate l'una da tutte le rette parallele in uno stesso senso ad una retta data, l'altra da tutte le perpendicolari ad un piano dato, ed introdurre dei punti impropri da riguardarsi come centri di queste stelle.

Senonchè i punti impropri appartenenti ad un piano non possono, in questo caso, come nell'euclideo, assegnarsi ad una retta [retta all'infinito]: essi costituiscono una intera regione, separata dalla regione dei punti effettivi [punti propri] da una conica [conica limite o all'infinito]. Questa conica è il luogo dei punti impropri determinati dai fasci di rette parallele.

Nello spazio poi i punti impropri sono separati dai punti propri da una quadrica non rigata [quadrica limite o all'infinito], luogo dei punti impropri secondo cui s'intersecano le rette parallele. Stabilita la validità della geometria proiettiva anche nelle ipotesi non-euclidee [KLEIN1], per ottenere la subordinazione della metrica alla proiettiva basta considerare, come nel caso euclideo, gli enti metrici fondamentali [assoluto] ed interpretare le proprietà metriche delle figure

  1. La questione dell'indipendenza della geometria proiettiva dalla teoria delle parallele è rapidamente toccata da KLEIN nella sua prima pubblicazione «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.»; Math. Ann., t. IV, p. 573-625 [1871]. Un più ampio sviluppo della questione si può vedere nella seconda pubblicazione di KLEIN sullo stesso argomento: Math. Ann., t. VI, p. 112-145 [1873].