Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/161

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Se ora si tien conto che i coseni direttori della retta, u(u1, u2, u3) sono:


[vedi formula 153_a.png]


l'ultima relazione diventa:


cos uv = cos ux cos vx + cos uy cos vy,


cioè l'ordinaria espressione che dà l'angolo di due rette nel piano euclideo.

Per la distanza di due punti X, Y le cose non procedono così semplicemente quando l'assoluto degenera nei punti ciclici. Infatti le due intersezioni M, N della retta XY con l'assoluto coincidono allora nell'unico punto all'infinito di questa retta e la formula (1) dà costantemente:


[vedi formula 153_b.png]


Tuttavia un opportuno artifizio permette di ottenere l'ordinaria formula della distanza come caso limite della (3).

Per raggiungere più facilmente lo scopo immaginiamo le equazioni dell'assoluto [non degenere], in coordinate di punti e di rette, ridotte alla forma:


[vedi formula 153_c.png]


Allora, ponendo:

[vedi formula 153_d.png]

la (3) del precedente § dà:

[vedi formula 153_e.png]


Sia epsilon infinitamente piccolo: trascurando infinitesimi di