Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/162

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ordine superiore al 2° potremo, nella formula precedente, sostituire all'arco il seno. Se poi scegliamo k2 infinitamente grande, in modo che il prodotto ik radice di epsilon si mantenga finito ed uguale all'unità per ogni valore di epsilon, la formula in discorso diventa:


[vedi formula 154_a.png]


Passiamo ora al limite per, epsilon = o. L'equazione tangenziale dell'assoluto diventa:


u12 + u22 = o;


corrispondentemente la conica degenera in due punti immaginari coniugati posti sulla retta u3 = o. La formula della distanza, introducendo le coordinate non omogenee:

Xi = xi/x3, Yi = yi/y3,

assume la forma,


Dxy = radice di [(X1 - X2,)2 + (Y1 - Y2)2],


la quale è caratteristica per la geometria euclidea. Con ciò è raggiunto il nostro scopo.

Richiamiamo l'attenzione sul fatto che per ricavare dalla formula generale della distanza quella speciale del caso euclideo, dovemmo far tendere k2 all'infinito. E poichè la curvatura di RIEMANN è data da


- 1/k2,


si ottiene, anche per questa via, una conferma del risultato che assegna allo spazio euclideo una curvatura riemanniana nulla.


§ 83. Le proprietà delle figure piane in relazione ad una conica e quelle dello spazio in relazione ad una quadrica,