Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/165

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Siano M, N gli estremi della corda a; M', N' quelli della corda a' e P, P' i poli di a ed a' rispetto alle relative coniche tau, tau'.

Ciò posto la retta PA interseca la conica tau in due punti reali e distinti R, S e la retta P'A' la conica tau' nei due punti reali e distinti R', S'.

Una trasformazione proiettiva che muti tau in tau', la retta a nella retta a', il punto A nel punto A', fa corrispondere al punto P punto P', alla retta PA la retta P'A'. Questa trasformazione subordina poi fra le due coniche una corrispondenza proiettiva in cui ai punti della coppia M, N corrispondono quelli della coppia M', N', ed a quelli della coppia R, S quelli della coppia R', S'.

Viceversa una trasformazione proiettiva fra le due coniche che goda di queste proprietà è subordinata da una trasformazione proiettiva fra i due piani, come quella sopra descritta1.

Ma considerando le due coniche tau, tau' vediamo che ai

  1. Per questa dimostrazione ed i teoremi di geometria proiettiva su cui essa è fondata cfr., ad es., le «Lezioni di geometria proiettiva.» di F. ENRIQUES, Cap. X, p. 251-3.