Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/169

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


nel senso sopra indicato, bisogna assumerla, a meno d'un fattore di proporzionalità, uguale al logaritmo di


(ABMN) = AM/BM : AN/BN ——

Avremo dunque:

dist. (AB) = k/2 log. (ABMN).


Analogamente si procede per valutare l'angolo di due rette. In questo caso bisogna osservare che volendo che l'angolo retto sia espresso da pigreco/2, è necessario assumere per costante moltiplicatrice del logaritmo il fattore 1/2i. Avremo così:


1

ab = 1/2i log. (abmn),

ove con m, n s'indicano le tangenti immaginarie coniugate condotte pel vertice dell'angolo al cerchio e con (abmn) il birapporto delle quattro rette, a, b, m, n, espresso analiticamente da:


sen (am) sen (an) ———————— : ———————— sen (bm) sen (bn)


§ 88. Riferendoci a quanto si disse intorno alla subordinazione della geometria metrica alla proiettiva [§ 81] è chiaro che le formule precedenti, relative alla distanza ed all'angolo, coincidono con quelle che si avrebbero sul piano non euclideo, il cui assoluto fosse un cerchio. Questo basterebbe per farci concludere che la geometria del sistema {S} fornisce una rappresentazione concreta della geometria di Lobacefski-Bolyai. Però, volendo render