Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/170

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ci conto in modo più approfondito di questo fatto, cerchiamo come si traducano in {S} la definizione e le proprietà delle rette parallele.

Siano r(u1, u2, u3) e r'(v1, v2, v3) due corde distinte del cerchio fondamentale. Riferendo il cerchio ad un sistema cartesiano ortogonale, con l'origine nel centro, e prendendo per unità di misura il raggio avremo:



x2+ y2 – 1 = o,

u2 + v2 – 1 = o,

per equazione puntuale e tangenziale del cerchio.

Rendendo omogenee queste equazioni otteniamo:


x12+ x22 – x32 = 0,

u12 + u22 – u32 = 0,


L'angolo rr' delle due rette può calcolarsi per mezzo delle formule (3') del § 81, ponendo in esse: psiuu = u12 + u22 – u32 psivv = v12 + v22 – v32 psiuu = u1v1 + u2v2 – u3v3.


Otterremo, ad es.:


[vedi formula 162.png]


Se ora si osserva che le rette r e r' hanno rispettivamente per equazione:


x1u1 + x2u2 + x3u3 = 0,

x1v1 + x2v2 + x3v3 = 0,


e che queste rette concorrono nel punto di coordinate:


x1 = u2v3 – u3v2, x2 = u3v1 – u1v3, x3 = u1v2 – u2v1,