 |
Questa pagina è ancora da trascrivere o è incompleta. | |
prima prova della indimostrabilità del postulato euclideo. Precisamente resta così stabilito che il postulato suddetto non può dimostrarsi fondandosi sui primi principi della geometria, validi in una regione limitata del piano. Infatti, ogni contraddizione logica che scaturisse dall'ipotesi opposta si tradurrebbe in una contraddizione nella geometria sopra le superficie a curvatura costante negativa.
Tuttavia, poichè il confronto tra il piano iperbolico e le superficie a curvatura negativa sussiste, come abbiam detto, soltanto per regioni limitate, non resta così escluso che il postulato euclideo possa dimostrarsi nel piano completo.
A togliere questo dubbio converrebbe riferirsi alla varietà astratta di curvatura costante, imperocchè non esiste alcuna superficie concreta dello spazio ordinario sulla quale valga la geometria iperbolica integrale [cfr. § 73].
Ma anche dopo di ciò l'indimostrabilità del postulato d'Euclide riuscirebbe provata soltanto nella geometria piana. Resterebbe dunque da discutere la possibilità di dimostrare il postulato stesso con considerazioni stereometriche.
La fondazione della geometria, secondo le vedute di RIEMANN, estendenti ad un campo a 3 dimensioni le idee della geometria sopra le superficie, offre la prova completa dell'indimostrabilità, basata sull' esistenza d'un sistema analitico non-euclideo. Si tratta dunque di un'altra prova analitica. Lo stesso può dirsi per gli sviluppi di HELMHOLTZ, LIE; ma questi ultimi offrono, si può dire, anche una prova geometrica, desunta dall'esistenza di gruppi di trasformazioni dello spazio euclideo, simili ai gruppi di movimenti della geometria non-euclidea. Beninteso bisogna qui aver riguardo alla considerazione della geometria nella sua interezza.
Più semplice e geometricamente luminosa, è la prova dell'indimostrabilità del postulato d'Euclide, desunta dalle metriche proiettive di Cayley.
