Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/208

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LA QUADRICA DI CLIFFORD.


§ 5. Dalle precedenti considerazioni risulta che tutte le rette che si appoggiano a tre parallele destrorse sono fra loro parallele sinistrorse. Infatti, se ABC è una secante comune alle tre rette a, b, c e se si prendono su queste rette, in uno stesso verso1, tre segmenti uguali AA', BB', CC', i punti A', B', C' appartengono ad una retta parallela ad ABC. Il parallelismo fra ABC ed A'B'C' è poi sinistrorso.

Da ciò si deduce che tre parallele a, b, c definiscono una superficie rigata del 2° ordine [quadrica di Clifford], di cui le rette incidenti ad a, b, c costituiscono un primo sistema di generatrici [gs]: il 2° sistema di generatrici [gd] è costituito dalle infinite rette che, come a, b, c, si appoggiano alle gs.

Alla quadrica di CLIFFORD competono le seguenti proprietà caratteristiche:

a) due generatrici d'uno stesso sistema sono fra loro parallele;

b) due generatrici di sistema diverso s'incontrano sotto un angolo costante.


§ 6. Passiamo a dimostrare che la superficie di CLIFFORD ammette due assi distinti di rotazione. Perciò da un punto qualunque M tracciamo le parallele d [destrorsa], s [sinistrorsa] ad una retta r, e indichiamo con delta la distanza MN di ciascuna parallela da r. Tenuta fissa la d facciamo ruotare s intorno ad r e siano s', s, s,... le successive posizioni che acquista s in questa rotazione. È chiaro che s, s', s,... sono tutte parallele sinistrorse ad r e che si appoggiano tutte

  1. È chiaro che fissato un verso sopra una retta, resta pure fissato un verso sopra ogni altra retta ad essa parallela.