Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/207

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rette A'B', A'C' sono le polari di AB ed AC, perciò l'angolo BAC è uguale all'angolo B'A'C'. Inoltre, per le proprietà delle parallele, sussistono le seguenti uguaglianze segmentarie:


AB = A'B', AC = A'C',


per cui i due triangoli ABC, A'B'C' sono uguali. Segue l'uguaglianza dei due segmenti BC, B'C'. Inoltre essendo:


BB' = AA' = CC',


il quadrilatero sghembo BB'C'C ha i lati opposti uguali.

Ma per stabilire che b, c sono parallele occorre anche dimostrare che gli angoli adiacenti del quadrilatero in discorso sono supplementari [cfr. 2)]. Per ciò paragoniamo i due triedri B (AB'C), B' (A'B"C'). In essi sussistono intanto le seguenti uguaglianze tra faccie:


ABB' = A'B'B = 1 retto. ABC = A'B'C'.


Inoltre i due diedri di spigolo BA e B'A' sono entrambi uguali ad un diedro retto, diminuito [od aumentato] del diedro che ha per sezione normale l'angolo A'BB': segue l'uguaglianza dei due triedri in discorso, quindi l'uguaglianza delle due faccie B'BC, BB'C'. Da ciò si deduce che gli angoli B e B' del quadrilatero BB'C'C sono supplementari e successivamente [tracciando le diagonali del quadrilatero, etc.] che B è supplementare di C, che C è supplementare di C', etc.

Potremo dunque asserire che b e c sono parallele. Che il parallelismo fra b e c sia destrorso, se tale è il parallelismo fra le due rette in discorso e la retta a, si verifica intuitivamente esaminando la figura.