Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/21

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vare che il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta1.

La dimostrazione riposa sostanzialmente su questo lemma: Se fra due punti A, C, presi in qualunque linea curva, il cui concavo sia verso X, sia tirata la retta AC e se dagli infiniti punti dell’arco AC cadono delle perpendicolari a qualche retta, dico essere impossibile che quelle perpendicolari siano fra loro uguali.

La «qualche retta» di cui si parla nell’enunciato, non è una retta qualunque del piano, ma una retta costruita nel seguente modo: Dal punto B dell’arco AC si cali BD, perpendicolarmente alla corda AC; poi in A si innalzi AG, pure perpendicolarmente ad AC; finalmente presi i due segmenti uguali AG e DF sulle due perpendicolari costruite, si congiungano gli estremi G, F. La GF è la retta che Giordano considera nella sua dimostrazione, retta rispetto alla quale l’arco AB non è certamente una linea equidistante.

Ma quando l’autore vuol dimostrare che il luogo dei punti equidistanti da una retta è pure una retta, applica il precedente lemma ad una figura in cui non sono verificate le relazioni che intercedono fra l’arco ABC e la retta GF, onde le conseguenze ch’egli deduce sulla esistenza di rette equidistanti non sono affatto lecite.

Sotto questo aspetto la dimostrazione di Giordano non offre alcun vantaggio sulle precedenti; essa però contiene una notevolissima proposizione, il cui concetto acquisterà nel seguito un maggiore sviluppo.

Sia ABCD un quadrilatero con gli angoli , retti ed i lati AD, BC uguali; sia inoltre HK una perpendicolare

  1. Giordano Vitale: Euclide restituto overo gli antichi elementi geometrici ristaurati, e facilitati. Libri XV [Roma, 1680].