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Ma le precedenti considerazioni sulle superficie regolari di curvatura costante suggeriscono un modo più generale di enunciare i postulati d'estensione: potremmo infatti semplicemente richiedere che intorno a ciascun punto del piano fossero verificate le proprietà della regione iniziale. Allora la classe delle possibili forme di piano si allarga notevolmente: si potrebbe, ad es., concepire una forma a curvatura nulla, doppiamente connessa e rappresentabile completamente sul cilindro dello spazio euclideo.
La ricerca di tutte le varietà a due dimensioni, di curvatura costante, ovunque regolari, forma oggetto del problema di CLIFFORD-KLEIN.
§ 10. E possibile realizzare con opportune superficie regolari a curvatura costante dello spazio euclideo, tutte le forme di CLIFFORD-KLEIN?
La risposta è negativa, come risulta chiaramente dal seguente esempio. La sola superficie regolare sviluppabile dello spazio euclideo, la cui geometria non sia identica a quella del piano è il cilindro a sezione chiusa: d'altra parte la quadrica di CLIFFORD dello spazio ellittico è una superficie regolare, di curvatura nulla, essenzialmente diversa dal piano e dal cilindro.
Però con opportune convenzioni si può rappresentare nello spazio ordinario anche la quadrica di CLIFFORD.
Riferiamoci in primo luogo al cilindro. Volendo sviluppare il cilindro è necessario renderlo semplicemente connesso con un taglio lungo una generatrice [g]: dopo, con flessione senza estensione, lo si adagia sul piano, ricoprendone una striscia compresa fra due parallele [g1, g2].
Fra i punti del cilindro e quelli della striscia intercede una corrispondenza biunivoca: fanno solo eccezione i punti della generatrice g, a ciascuno dei quali corrispondono due punti, situati l'uno su g1 l'altro su g2. Però se si conviene di riguardare questi due punti come identici, cioè come un unico
