Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/215

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punto, allora la corrispondenza diventa biunivoca senza eccezione, e la geometria della striscia è integralmente la stessa di quella del cilindro.

Una rappresentazione analoga alla descritta si può istituire anche per la quadrica di CLIFFORD. Prima si rende la superficie semplicemente connessa con due tagli lungo le generatrici [g, g'] uscenti da un suo punto, ottenendo, nello spazio ellittico, un parallelogramma sghembo, i cui lati hanno ciascuno la lunghezza della retta e i cui angoli teta e teta' [teta + teta' = 2 retti] sono gli angoli formati da g e g'.

Ciò posto fissiamo sul piano euclideo un rombo, i cui lati abbiano la lunghezza della retta ellittica ed i cui angoli siano teta e teta'. Su questo rombo può rappresentarsi congruentemente [svilupparsi] la quadrica di CLIFFORD. La corrispondenza fra i punti della superficie e quelli del rombo è biunivoca, con eccezione per i punti di g e g', a ciascuno dei quali ne corrispondono due, situati su lati opposti del rombo. Però, se si conviene di riguardare come a due a due identici questi punti, allora la corrispondenza risulta biunivoca senza eccezione e la geometria del rombo è integralmente identica a quella della quadrica di CLIFFORD1.


§ 11. Le indicate rappresentazioni del cilindro e della superficie di CLIFFORD ci mostrano come, per il caso della curvatura nulla, la ricerca delle forme di CLIFFORD-KLEIN possa ricondursi alla determinazione di convenienti poligoni euclidei, eventualmente degeneri in striscie, i cui lati sono a due a due trasformabili l'uno nell'altro con opportuni movimenti del piano, ed i cui angoli hanno per somma quattro angoli retti [KLEIN2]. Dopo non rimarrà che a riguardare a due a due come identici i punti dei lati predetti, per

  1. Cfr.: «Preliminary Sketch....». — Vedi pure il citato [nota 180] scritto di KLEIN: «Zur Nicht-Euklidischen Geometrie».
  2. Opera citata.