Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/34

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golo la somma in discorso è rispettivamente uguale, maggiore, minore di due angoli retti1.

Questo teorema, che Saccheri non enuncia esplicitamente, nella prima e terza ipotesi fu ritrovato e reso noto da Legendre, circa un secolo dopo. Esso dovrà quindi chiamarsi teorema di Saccheri e non teorema di Legendre, come ordinariamente si fà.

§ 14. I precedenti teoremi sul quadrilatero birettangolo isoscele furono dimostrati da Saccheri, e successivamente da altri geometri, col sussidio del postulato di Archimede e del principio della continuità [Cfr. prop., V, VI]. Il Sig. M. Dehn2 ha però dimostrato ch'essi ne sono indipendenti. Possiamo stabilire la cosa per via elementare, nel modo seguente3.

Sulla retta r si fissino due punti B, D, dai quali si elevino i due segmenti perpendicolari ed uguali fra loro BA, DC, poscia si congiungano i due punti A e C per mezzo della retta s. La figura ottenuta, in cui evidentemente si ha , è fondamentale per le nostre considerazioni, e ad essa ci riferiremo costantemente. Ciò posto siano E ed

  1. Un'altra proposizione di Saccheri, che non ci interessa direttamente, afferma che se in un solo quadrilatero la somma degli angoli è uguale, maggiore, minore di quattro angoli retti, si deduce rispettivamente l'ip. ang. retto, l'ip. ang. ottuso, l'ip. ang. acuto. A questa proposizione si riattacca una osservazione di Saccheri sul postulato di Wallis [cfr. § 9]. Wallis poteva semplicemente ammettere l'esistenza di due soli triangoli con angoli uguali e lati disuguali per dedurre l'esistenza di un quadrilatero in cui la somma degli angoli è uguale a quattro angoli retti, quindi la validità dell'ip. ang. retto e successivamente il V postulato.
  2. Cfr. Math. Ann. t. 53, p. 405-439: «Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck».
  3. Cfr. BONOLA: «I teoremi del Padre Gerolamo Saccheri sulla somma degli angoli di un triangolo e le ricerche di M. Dehn.». Rend. Istituto Lombardo, serie II, Vol. XXXVIII [1905].