Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/44

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1°) rette del fascio incidenti a b ; 2°) rette del fascio che ammettono con b una perpendicolare comune. In forza del principio della continuità esistono due rette p, q che dividono il fascio in due parti. Alla prima parte appartengono le rette incidenti a b, alla seconda parte le rette non incidenti a b, ed aventi con b una perpendicolare comune. Quanto alle rette p, q si dimostra che non appartengono nè all'una nè all'altra parte. Infatti, che p non sia incidente a b è manifesto. Per provare che p non ammette perpendicolare comune con b ragioniamo per assurdo. Sia PB l'ipotetica perpendicolare alle due rette p e b. Calata da A la perpendicolare AM su b e preso su b il punto B', da banda opposta di M rispetto a B, si elevi la B'P', perpendicolarmente a b, poi si cali la perpendicolare AP' su B'P'. La retta AP' non è incidente a b, perchè ammette con b una perpendicolare comune ed incontra la PB in un punto R. L' angolo ARB, supplementare dell'angolo acuto BRP', è ottuso, perciò il raggio AR cadrà nell'angolo MAP. Ma allora AR sarebbe ad un tempo secante e non secante rispetto a b. Questa contraddizione fa cadere l'ipotesi d'una perpendicolare