Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/43

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a, b due rette coplanari non incidenti. Dai punti A1 A2 di a si calino le perpendicolari A1B1, A2B2 su b. Gli angoli A1, A2 del quadrilatero ottenuto, possono essere: 1°) uno retto ed uno acuto: 2°) entrambi acuti; 3°) uno acuto e l'altro ottuso. Nel primo caso esiste senz'altro la perpendicolare comune alle due rette a, b. Nel secondo caso si prova l'esistenza della perpendicolare comune ragionando per continuità [SACCHERI, prop. XXII]. Infatti, se si muove con continuità la retta A1B1, mantenendola perpendicolare a b, fino a portarla su A2B2, l'angolo B1A1A2, acuto nella posizione iniziale, cresce fino a diventare ottuso: segue l'esistenza d'una posizione intermedia AB, in cui l'angolo BA1A2 è retto. Allora AB è la perpendicolare comune alle due rette a, b. Nel 3° caso, o le rette ab non ammettono una perpendicolare comune, ovvero, la perpendicolare comune, se esiste, non cade fra B1 e B2.

Data, come ipotesi, l'esistenza di due rette coplanari non incidenti e prive di perpendicolare comune, SACCHERI dimostra che tali rette vanno sempre più accostandosi [prop. XXIII] e che la loro distanza finisce per diventare minore di un segmento piccolo a piacere [prop. XXV]. In altre parole, se esistono due rette coplanari non incidenti, prive di perpendicolare comune, esse debbono comportarsi asintoticamente fra loro1.

Per provare l'effettiva esistenza di rette asintoticlie, SACCHERI ragiona presso a poco così. Le rette d'un fascio di centro A possono, rispetto ad una retta b, coplanare al fascio e non passante per A, ripartirsi in due gruppi:

  1. Questo risultato giustifica il dubbio affacciato dai greci circa la possibile esistenza di rette coplanari asintotiche [cfr. §. 2].