Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/47

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


di natura critica e filosofica, fa cenno della duplice questione che possiamo proporci sul V postulato, cioè se esso possa dimostrarsi col semplice aiuto dei precedenti o se invece a ciò non si richieda l'impiego di qualche altra ipotesi. La seconda parte è dedicata all'esposizione di vari tentativi, in cui il postulato euclideo è ricondotto a proposizioni semplicissime, le quali però alla loro volta dovrebbero essere dimostrate. La terza, la più importante, contiene un sistema di ricerche simili a quelle del padre Saccheri, che rapidamente riassumiamo.


§ 19. La figura fondamentale di Lambert è un quadrilatero trirettangolo e le tre ipotesi sono fatte sulla natura del 4° angolo. La prima è l'ip. ang. retto, la seconda è l'ip. ang. ottuso, la terza è l'ip. ang. acuto. Anche nella trattazione di queste ipotesi l'autore si accosta al metodo Saccheriano.


La prima ipotesi conduce facilmente al sistema euclideo.

Per rigettare la seconda ipotesi Lambert ricorre ad una figura formata con due rette a, b perpendicolari alla terza retta AB. Dai punti susseguentisi B, B1, B2,... Bn della b cala le perpendicolari BA, B1A1.... BnAn su a e dimostra, in primo luogo, che i segmenti di perpendicolare compresi fra a e b vanno decrescendo a partire dalla perpendicolare AB; poi che la differenza fra ciascuna di esse e la successiva va crescendo. Talchè risulta:


BA – BnAn > (BA – B1A1) . n