Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/58

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d'un triangolo, somma ch'ei vuole dimostrare uguale a due angoli retti.

Allo scopo riesce, fin da principio, a scartare l'ipotesi saccheriana dell'angolo ottuso, stabilendo che «in qualsiasi triangolo la somma degli angoli è minore [ip. ang. acuto] od uguale [ip. ang. retto] a due angoli retti.

Riportiamone una semplice ed elegante dimostrazione di Legendre.

Siano sopra una retta n segmenti uguali e consecutivi A1 A2, A2 A3,.... An An+1, sui quali, da una stessa banda della retta, siano costruiti n triangoli uguali, aventi per terzi vertici i punti B1, B2,.... Bn.

I segmenti B1 B2, B2 B3,.... Bn-1 Bn , che congiungono questi ultimi vertici, sono uguali e possono considerarsi come basi di altri n triangoli uguali: B1A2B2, B2A3B3,.... Bn-1AnBn. Si completi la figura con il trangolo BnAn+1Bn+1, uguale ai precedenti.

Denotando con beta l'angolo in B, del triangolo A1B1A2 e con alfa l'angolo in A2 del triangolo consecutivo, dico essere beta uguale/minore alfa. Infatti, se fosse beta > alfa, dal paragone dei due triangoli A1B1A2, B1A2B2, che hanno due lati uguali, si dedurrebbe A1A2 > B1B2.

Inoltre, essendo la spezzata A1B1B2.... Bn+1An+1 maggiore del segmento A1An+1, si avrebbe:


A1B1 + (B1B2) . n + An+1 Bn-1 > (A1A2) . n, cioè: 2 A1B1 > (A1A2 – B1B2)