Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/64

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due punti M', M" non in linea retta con M. Questi tre punti M, M', M" appartengono ad una circonferenza, ed allora le due rette AA', BB', dovendo entrambe passare pel centro del cerchio, s'incontrano.

Ma dal fatto che una perpendicolare ed una obbliqua ad una stessa retta s'incontrano segue senz'altro l'unicità della parallela.


FEDERICO LODOVICO WACHTER [1792-1817].


§ 30. Visto come il postulato euclideo dipenda dalla possibilità di tracciare un cerchio per tre punti qualsiansi non collineari, si presenta spontanea l'idea di stabilire l'esistenza di un sifatto cerchio, antecedentemente ad ogni ricerca sulle parallele.

Un tentativo in questa direzione fu fatto da F. L. Wachter.

Wachter, scolaro di Gauss e Gottinga [1809] e professore di matematica al ginnasio di Danzica, si occupò a più riprese della dimostrazione del postulato e credè aver raggiunto lo scopo prima in una lettera a Gauss [dicembre 1816], poi in un opuscoletto, stampato a Danzica nel 18171.

È in questa pubblicazione ch'egli cerca di stabilire che per quattro punti arbitrari dello spazio [non appartenenti ad un piano] passa una sfera, giovandosi del seguente postulato: Quattro punti arbitrari dello spazio determinano pienamente una superficie [superficie dei quattro punti] e due sifatte superficie s'intersecano in una sola linea, completamente determinata da tre punti.

È inutile seguire il ragionamento con cui Wachter cerca di dimostrare che la superficie dei 4 punti è una sfera, perchè, mancando nel suo opuscolo una precisa definizione di quella superficie, le sue deduzioni hanno soltanto carattere intuitivo.

  1. «Demonstratio axiomatis geometrici in Euclideis undecimi.»