Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/72

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Anzi tre dei suoi punti non appartengono mai ad una circonferenza. Sifatta linea può concepirsi come limite d'una circonferenza, il cui raggio tenda all'infinito.

Gauss non proseguì la sua redazione perchè nel 1832 conobbe l'opera di GIOVANNI Bolyai, sulla geometria assoluta.

Da lettere anteriori e posteriori alla interrotta redazione, sappiamo ancora che Gauss aveva scoperto, nella sua geometria, una unità assoluta pei segmenti [cfr. Lambert, Legendre] e che nelle sue formule compariva una costante k, nota la quale si può risolvere qualunque problema [lettera a GerlinG].

Più precisamente nel 1831 [lettera a Schumacher] assegnava la lunghezza della circonferenza di raggio r sotto la forma:

La geometria non-euclidea formula 64.png


A proposito di k egli dice che, ove si voglia mettere d'accordo la nuova geometria con l'esperienza, bisogna supporla infinitamente grande rispetto a tutte le grandezze misurabili.

Per k = infinito l'espressione gaussiana diventa l'ordinaria lunghezza della circonferenza1. Questa osservazione può estendersi a tutto il sistema scoperto da Gauss, sistema che, per k = infinito, contiene, come caso limite, quello di Euclide.

  1. Per vederlo si sostituisca a ciascun'esponenziale lo sviluppo in serie. Allora avremo:
    La geometria non-euclidea formula 64 b.png

    Passando al limite, per k = infinito, si ottiene: 2 pi greco r.