Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/78

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somma degli angoli d'un triangolo è minore di 180°. Riferiamoci per semplicità al triangolo equilatero, ponendo nella (1) a = b = c. Risolvendo poi rispetto a cos alfa, avremo:


[vedi formula 70_a.png]

Ma:

[vedi formula 70_b.png]

quindi:

[vedi formula 70_c.png]


Questa frazione evidentemente e maggiore di ½, perciò sarà alfa < 60°, quindi la somma degli angoli del triangolo minore di 180°.

Inoltre è opportuno notare che:

[vedi formula 70_d.png]

vale a dire: il limite di alfa, per a tendente a zero, è 60°. Perciò nella geometria log.-sferica la somma degli angoli di un triangolo tende a 180° quando i lati tendono a zero.

Sulla (*) possiamo fare anche la seguente osservazione:

[vedi formula 70_e.png]

ovvero: per k tendente all'infinito alfa tende a 60°. Cioè: se si suppone la costante k infinitamente grande, l'angolo del triangolo equilatero è di 60°, come nell'ordinaria geometria.

Più generalmente si potrebbe vedere che la (1), per k = infinito, diventa:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos alfa,