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Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010 |
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Teorema:
- 6) ogni quadrato magico normale di lato 3 e ottenuto dal quadrato magico del Fiume Luò per rotazioni o riflessioni; altrimenti detto: non ci sono altri quadrati magici di ordine 3 se non quelli che si possono ottenere dal quadrato magico del Fiume Luò.
Ciò lo rende in qualche modo unico. Si può introdurre nell’insieme dei quadrati magici normali di lato
n una relazione di equivalenza, dicendo che due quadrati si equivalgono se si possono ottenere uno
dall’altro per rotazioni o riflessioni. In tal modo l’insieme dei quadrati magici normali di lato n viene
suddiviso in classi di equivalenza, cioè insiemi di quadrati equivalenti tra loro. Il teorema 6 dice che
l’insieme dei quadrati magici normali di lato 3 contiene una sola classe di equivalenza.
Quelli rappresentati sopra sono quindi tutti i quadrati magici normali di lato 3.
Teoremi:
- 7) dato un quadrato magico (normale o meno), se ne può ottenere un altro sommando ad ogni numero uno stesso numero naturale k;.
- 8) se k > 0 il quadrato magico cosi ottenuto non e normale;
- 9) se il quadrato magico di partenza ha lato n e costante magica M, la costante magica del nuovo
quadrato è M'=M + n × k.
Dimostrazione:
dato che tutte le righe, tutte le colonne e le due diagonali hanno somma costante ci si può limitare a
considerare una sola riga. Siano dunque a1, a2,... an gli n elementi di una riga di un quadrato magico di lato n e costante magica M. Sommmando a ciascuno in numero k otteniamo la nuova riga a1+k, a2+k,... an+k. Sommando tra loro questi nuovi n elementi si ottiene:
M'= (a1 + k) + (a2 + k) + ... + (an + k)=(a1 + a2 + ... +an)+n × k =M + n × k
Ciò accade per tutte le righe e le colonne così ottenute, quindi il nuovo quadrato è effettivamente un
quadrato magico e la sua costante magica e quella indicata nella formula.
Come dovevasi dimostrare.
Ad esempio questo quadrato che compare in una decorazione pavimentale a Kubera Kolam in India si
può ottenere dal quello del fiume Luò sommando ad ogni elemento il numero 19.
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