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Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010

Quindi quello del fiume Luò è un quadrato magico normale. Eccone invece due non normali:

3	3
3	3

1	0	1	0
1	0	1	0
0	1	0	1
0	1	0	1

Teoremi:

3) non esistono quadrati magici normali di lato 2; il più piccolo ha dunque lato 3;

4) la costante magica di un quadrato magico normale di lato n vale $M={\frac {n3+n}{2}}$.

Dimostrazione:
la somma di tutti gli elementi del quadrato è la somma di tutti i numeri naturali da 1 ad n². Un teorema di aritmetica ci assicura che tale somma vale $1+2+...+n2={\frac {n2(n2+1)}{2}}$. A noi interessa la somma degli elementi di una sola riga od una sola colonna, che sappiamo essere costante: essa sarà la somma di tutti gli elementi del quadrato diviso il numero delle righe, ossia il lato: $M={\frac {1+2+...+n2}{n}}$ Con qualche passaggio si ottiene:

$M={\frac {1+2+...+n2}{n}}={\cfrac {\cfrac {n2(n2+1)}{2}}{n}}={\frac {n2(n2+1)}{2n}}={\frac {n3+n}{2}}$

Come dovevasi dimostrare.

Nel caso del quadrato magico del fiume Luò si ha effettivamente: ${\frac {33+3}{2}}={\frac {27+3}{2}}={\frac {30}{2}}=15$.

In questo caso si può anche calcolare la costante magica più semplicemente come somma dei 9 elementi divisa per le 3 righe: ${\frac {1+2+3+4+5+6+7+8+9}{3}}={\frac {45}{3}}=15$ In termini più astratti si può parlare di una funzione tra lati e costanti magiche:

$M:N\setminus \ \{0;1;2\}\to \ N$

$M(n)={\frac {n3+n}{2}}$

Teorema:

5) dato un quadrato magico, se ne possono ottenere almeno altri 7 con rotazioni e riflessioni.

Ecco tutti i quadrati magici che si possono ottenere in tal modo dal quadrato del fiume Luò:

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