Esiste però un metodo più affascinante (Bagni, 1996).
L’elemento della casella centrale A22 compare nelle somme degli elementi delle due diagonali e della
riga e della colonna centrali. Se facciamo la somma di tutti questi elementi coinvolgiamo tutte le
caselle del quadrato una volta, salvo quella centrale che interviene coinvolta quattro volte:
(A11+A22+A33)+(A13+A22+A31)+(A12+A22+A32)+(A21+A22+A23)=
- (A11+A12+A13+A21+A22+A23+A31+A32+A33)+3 × A22
le quattro somme nelle parentesi a primo membro valgono tutte 15 mentre la somma nella parentesi a
secondo membro è la somma di tutti gli elementi del quadrato magico normale di lato 3, cioè di tutti i
numeri naturali da 1 a 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, per cui l’equazione diviene:
4×15=45+3×A22
da cui: 60=45+3×A22 ⇔ 60-45=3×A22 ⇔ 15=3×A22 ⇔ A22=
⇔ A22=5
Possiamo piazzare il primo numero sicuro:
Per riempire la altre caselle consideriamo che 5 non compare più, quindi la nostra scelta si limita a 1, 2,
3, 4, 6, 7, 8, 9. Inoltre le somme degli elementi che vanno nelle caselle esterne delle due diagonali e
della riga e della colonna centrali valgono 10 (A11+5+A33=15 ⇔ A11+A33=10 e così analogamente per tutte le altre). Le coppie di numeri disponibili che hanno per somma 10 sono: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. proviamo quindi a piazzarle nello schema nelle due caselle esterne di una diagonale o della riga o della colona centrali. Le scelte che si fanno a questo punto determinano quale degli otto quadrati magici normali di lato 3 possibili si otterrà. Prendiamo la prima coppia: 1 e 9 e proviamo a sistemarla:
In realtà la casistica si riconduce a soli due casi, quello del primo quadrato (con 1 e 9 nella diagonale) e
quello del secondo (con 1 e 9 in una riga o colonna centrale); negli altri tutto è analogo.
Nel caso della diagonale, però, incontreremmo insormontabili difficoltà a completare le righe e le
colonne con le coppie di numeri disponibili: 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. Infatti per ottenere 15 da 1 possiamo
sommarlo, oltre che a 5 e 9, solo ad 8 e 6, che possono essere inseriti in due modi e poi per ognuno
anche per l’ultima coppia abbiamo due scelte:
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