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112 Codifica numerica del segnale audio

in funzione della distribuzione delle ampiezze del segnale p(x). A tal fine, è necessario determinare la caratteristica che minimizzi il funzionale dell’errore

  (4.1)

Tale caratteristica deve essere trovata nella famiglia di curve f(x) + ε μ(x), ottenute tramite una variazione della f(x) ottima, nel caso di estremi vincolati f(0) = 0; f(V) = V (cioè μ(0) = μ(V) = 0) (fig. 4.2). Per la ricerca del minimo, si calcola l’incremento del funzionale a seguito della variazione della f(x), che, nel caso più generale di F = F[x, f(x), f'(x ], è dato da

 
  (4.2)

È conveniente approssimare tale incremento tramite un suo sviluppo in serie di Taylor. A questo proposito si consideri che l'incremento (εμ per la f(x) e εμ' per la f’(x)) non interessa la x, per cui la derivata parziale della F relativa alla x si annulla. Lo sviluppo porta alla seguente espressione

  (4.3)

Separando i due termini dell’integrale ed integrando per parti il secondo termine, si ottiene

  (4.4)

Dato che μ(V) = μ(0) = 0, il termine centrale dell’espressione è nullo, per cui

  (4.5)