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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria

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Fig. 5.12 - Predittore lineare.

L’esponente “T” indica l’operazione di trasposizione. La struttura del predittore è, ovviamente, legata a quella del processo AR che vuole stimare, come mostrato nel seguito. Dati il segnale e la sua stima, è possibile definire il vettore e(n) dei campioni della funzione d’errore (residuo), i cui elementi sono ottenuti come

$e(n)=x(n)-{\hat {x}}(n)=x(n)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\ x(n-k)=x(n)-\alpha ^{T}x(n-1)$

(5.29)

Dal punto di vista della predizione, l’errore è una funzione dei coefficienti incogniti a k della quale si vuole determinare il minimo. Per determinare i parametri del predittore che minimizzino l’errore, è necessario scegliere un opportuno criterio di ottimizzazione. Quello più comunemente adottato è la minimizzazione dell’errore quadratico medio (Mean-Square value of the estimation Error: MSB), definito come la varianza del segnale d’errore

$\epsilon (\alpha )=E\{e(n)^{2}\}=E\left\{[x(n)-{\hat {x}}(n)]^{2}\right\}=\left\{\left[x(n)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\ x(n-k)\right]^{2}\right\}$

$\epsilon (\alpha )=E\{x(n)^{2}\}-2E\left\{\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\ x(n-k)\right\}+E\left\{\left[\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\ x(n-k)\right]^{2}\right\}$

(5.30)