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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria 161

Es.: si consideri un segnale cosinusoidale campionato con una frequenza pari a quattro volte la frequenza del segnale e fase iniziale nulla. La sequenza dei campioni è pari a

  (5.97)

Si consideri un precettore del 2° ordine con costante di aggiornamento dei coefficienti μ = 1/2 e condizioni iniziali per i coefficienti del predittore α = [ 0 0 ]. Per i primi due passi dell’algoritmo si ottiene

 
  (5.98)

dopo di che si possono applicare le relazioni ricorsive esposte che, per n = 2, forniscono

 
  (5.99)

per n = 3 forniscono

 
  (5.100)

e cosi via.

Per quanto riguarda la convergenza dell’LMS, essa, come per l’MMS, è di tipo esponenziale con decadimento regolato da μ (fig. 5.20). L’uso di una stima del gradiente invece del suo valore corretto, però, si traduce nell'aggiunta di un errore che si manifesta come fluttuazioni sulla convergenza esponenziale. Di conseguenza, da p dipende anche lo scostamento dal valore teorico del minimo errore ottenibile. Infatti, con valori bassi di μ si ottiene una convergenza lenta, ma i valori dei coefficienti ottenuti risultano essere molto vicini a quelli ottimi; con valori di μ elevati la convergenza è più rapida, ma le maggiori fluttuazioni introdotte fanno si che le prestazioni a regime siano peggiori. La soluzione può essere quella di rendere adattativo anche tale parametro, al prezzo di una maggiore complessità computazionale [Appendice B].