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Codifica numerica del segnale audio

5.2.4 Metodo del gradiente

Con l’algoritmo del gradiente deterministico, il predittore utilizza un vettore di coefficienti che viene periodicamente aggiornato. A tal fine ci si muove lungo la superficie del criterio d’errore verso il suo minimo, andando nella direzione opposta al gradiente

$\nabla \epsilon (\alpha )={\frac {\partial \epsilon }{\partial \alpha _{i}}}=2(R\alpha -r)$

(5.91)

Ciò si ottiene tramite una legge di aggiornamento del tipo

$\alpha ^{(n+1)}=\alpha ^{(n)}+{\frac {1}{2}}\mu [-\nabla (n)]=\alpha ^{(n)}+\mu \left[r-R\alpha ^{(n)}\right]$

(5.92)

con μ un opportuno parametro. Ipotizzando nota la matrice di autocorrelazione, il gradiente della funzione di errore risulta disponibile e calcolabile in funzione dei coefficienti del predittore ai tramite il valore atteso

$\nabla \epsilon (\alpha )=2E\{e(n)x(n-i)\};\ i=1,\ldots ,p$

(5.93)

Il metodo del gradiente stocastico, detto brevemente metodo del gradiente (Least Mean Square error gradient algorithm: LMS), elimina la necessità di disporre di tale valore atteso, ricorrendo ad una sua stima istantanea, ottenuta dai campioni del segnale come

$\nabla {\hat {\epsilon }}(\alpha )=2e(n)x(n-k)$

(5.94)

Questa semplificazione porta a delle relazioni ricorsive per il calcolo dei coefficienti del predittore del tipo

$\alpha _{k}^{(n+1)}=\alpha _{k}^{(n)}+\mu e(n)x(n-k)$

(5.95)

dove l’errore al passo n-esimo si ottiene come differenza tra l’ingresso e la sua stima

$e(n)=x(n)-\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}^{(n)}x(n-k)$

(5.96)