Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/177

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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria 159
  (5.86)

si ottiene la seguente equazione ricorsiva per il vettore ν

 
  (5.87)

Esprimendo scalarmente tale relazione ricorsiva, si ottiene

 
  (5.88)

Questa rappresenta una serie geometrica, la cui stabilità è assicurata se risulta -

 
  (5.89)

Questa relazione, che impone un limite superiore al valore della costante di aggiornamento, mostra come la |i debba essere scelta in funzione degli autovalori della matrice di autocorrelazione del processo, peraltro incogniti. Sostituendo l’espressione ricorsiva della variabile v in quella dell’errore, si ricava infine

  (5.90)

che mostra come l'errore tenda al suo minimo con legge esponenziale.

Per quanto riguarda la rapidità di convergenza, la dipendenza dagli autovalori della matrice di autocorrelazione è evidente, dato che da essi dipende l’eccentricità delle sezioni orizzontali del funzionale d’errore. È intuitivo pensare, infatti, che con sezioni approssimativamente circolari in gradiente punti al minimo del funzionale d’errore e quindi le correzioni dell’algoritmo portano i coefficienti del predittore a raggiungerlo rapidamente. Con sezioni fortemente ellittiche, invece, le correzioni apportate ai parametri hanno forti componenti trasversali alla direzione di massima pendenza, per cui l’avvicinamento al minimo sarà più lento.