Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/189

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5 - Codifica numerica di forma d’onda con memoria 171

Fig. 5.23 - Luogo delle radici e rappresentazione delle LSP. (a) ordine 6 e (b) ordine 7.

A titolo esemplificativo la figura 5.23 riporta il luogo delle radici per due generici set di LSP nel caso di ordine pari (5.23a) ed ordine dispari (5.23b).

Nella figura sono anche riportate le radici del filtro di sintesi. Si può facilmente osservare che per radici di A(z) prossime al cerchio unitario le LSP tendono ad avvicinarsi tra loro. Viceversa, la vicinanza tra coppie di LSP non è necessariamente un buon indicatore della vicinanza di una radice di A(z) al cerchio unitario e cioè di una risonanza.

I metodi di calcolo delle radici LSP sfruttano le caratteristiche enunciate precedentemente. Dato che le LSP occorrono in coppie complesse coniugate, è sufficiente calcolare le radici su di un semicerchio, ad esempio nell'intervallo 0 ÷ π. Questo rimuove l’apparente aumento di ridondanza nel passare da A(z) ai due polinomi P(z) e Q(z). Le radici possono essere ricavate direttamente a partire dalle equazioni con i metodi dell’aritmetica complessa, oppure in modo molto più agevole considerando che le radici giacciono sul semicerchio unitario e quindi ponendo z = e e risolvendo per ω. Questo metodo richiede tuttavia lo sviluppo e la soluzione di espressioni trigonometriche anche complesse. Un metodo di calcolo più semplice che si presta ad essere svolto numericamente è quello basato sull'utilizzo dei polinomi di Chebyshev [Kab86]. In questo caso i termini trigonometrici cos(mω) sono sostituiti con i polinomi Tm(x), sfruttando la mappatura x = cos(ω). Ne consegue che le radici nel dominio