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A - Processi auto regressivi

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dove

$\delta (n)=\left\{{\begin{matrix}1&n=0\\0&n\neq 0\end{matrix}}\right.$

(A.5)

per sistemi lineari tempo-invarianti, la relazione

$y(n)=T\left\{x(n)\right\}=T\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\delta (n-k)\right\}$

(A.6)

può essere espressa, per la linearità, come

$y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(n)T\left\{x(k)\delta (n-k)\right\}$

(A.7)

Indicando con

$h(n)=T\left\{\delta (n)\right\}$

(A.8)

la risposta impulsiva del sistema, per l’invarianza alla traslazione si ottiene

$h(n-k)=T\left\{\delta (n-k)\right\}$

(A.9)

da cui

$y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)h(n-k)=x(n)\otimes h(n)$

(A.10)

Si può quindi concludere che un sistema discreto lineare tempo invariante è completamente caratterizzato dalla sua risposta impulsiva o, equivalentemente, dalla funzione di trasferimento ottenuta come trasformata z della stessa

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h(n)z^{-n}$

(A.11)

Lo svantaggio fondamentale della sommatoria di convoluzione introdotta per l’analisi dei sistemi nel dominio del tempo risiede nel fatto che gli estremi della sommatoria risultano pari a ±∞. Per evitare tale inconveniente, il legame ingresso-uscita può essere approssimato tramite equazioni alle